Geometria Euclidiana

1. Introdução

Existem indícios de que os primeiros conhecimentos de Geometria foram desenvolvidos por volta de 2000 a.C. pelos babilônios, e cerca de 1300 anos a.C. pelos egípcios, na tentativa de resolver problemas do cotidiano, como a demarcação de terras ou a construção de edifícios. No entanto, foram os gregos, por volta de 600 a.C., os primeiros a sistematizar e organizar tudo que se conhecia sobre o assunto até sua época.

O principal trabalho dos gregos foi feito por Euclides, por volta de 300 a.C., que escreveu um tratado de Geometria, chamado Elementos.

A preocupação central de Euclides em sua obra é a demonstração de propriedades geométricas com o auxílio da Lógica.

Da mesma forma que Euclides, iniciamos este livro apresentando neste capítulo os conceitos primitivos, definições, postulados e teoremas, que serão básicos para o desenvolvimento da Geometria, aqui chamada euclidiana, em homenagem ao seu principal organizador.

2. Conceitos, definições e notações

A. Por que nem tudo pode ser definido em uma teoria?

Sempre que definimos algum elemento em uma teoria, usamos, como ferramenta de linguagem, outros elementos já definidos anteriormente.

Exemplo:

“Triângulo é a reunião de três segmentos consecutivos determinados por três pontos não colineares”.

Essa definição só pode ser apresentada após o conhecimento dos conceitos de: reunião, segmentos consecutivos e pontos não colineares; e esses conceitos só podem ser apresentados a partir de outros, e assim por diante.

Porém, essa seqüência de conceitos previamente apresentados não pode ser prolongada indefinidamente. É necessário estabelecer um ponto de partida, isto é, alguns conceitos devem ser adotados sem definição (conceitos primitivos), para que todos os demais possam ser apresentados a partir deles.

São conceitos primitivos na Geometria euclidiana:

• Ponto (indicado por letra maiúscula latina)	• Reta (indicada por letra minúscula latina).	• Plano (indicado por letra minúscula grega)

B. Estar entre: um conceito primitivo

A noção de estar entre é um conceito primitivo que obedece às seguintes condições:

1º) Se P está entre A e B, então A, B e P são distintos dois a dois.

2º) Se P está entre A e B, então A, B e P são colineares (estão na mesma reta).

3º)Se P está entre A e B então A não está entre B e P, e B não está entre A e P.

4º) Se A e B são dois pontos distintos, então existe um ponto P que está entre A e B.

Exemplo:

C. Definição de Segmento de reta

Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituída por eles e por todos os pontos que estão entre eles.

Exemplo

O segmento de reta determinado por A e B é representado por , dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos por AB a medida de .

(*) Para apresentarmos a teoria da Geometria de modo mais sucinto, admitiremos alguns conceitos como conhecidos, como o de figura (conjunto de pontos não vazio).

D. Segmentos Congruentes

Definição – Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade.

Exemplo:

Os segmentos de reta e , da figura, têm medida 4 cm, portanto são congruentes.

Indica-se:

E. Divisão de segmento

Definição 1 – Se P é um ponto que está entre A e B, dizemos que P divide interiormente numa razão .

Exemplo

Na figura abaixo AP = 5 cm e PB = 6 cm, então:

P divide na razão =5/6

Definição 2 – Se A é um ponto entre P e B, ou B é um ponto entre A e P, dizemos que o ponto P divide exteriormente na razão .

Na figura abaixo PA = 3 cm e AB = 5 cm, então:

P divide na razão =3/8

F. Ponto Médio de Segmento de Reta

Definição – Ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide o segmento interiormente na razão 1.

Exemplo

Na figura , então P é o ponto médio de , pois P divide na razão =1.